类型1 直角三角形的翻折或翻折后产生直角三角形的问题
例1．（2018秋•昌平区期末）如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（ ）
A．4 B．3
C．2 D．5
【剖析】设BN＝x，则由折叠的性子可得DN＝AN＝9﹣x，根据中点的定义可得BD＝3，在Rt△BND中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．
【解答】设BN＝x，由折叠的性子可得DN＝AN＝9﹣x，
∵D是BC的中点，∴BD＝3，在Rt△NBD中，x ²+3 ²＝（9﹣x）²，
解得x＝4．即BN＝4．故选：A．
例1变式1．（2018秋•平度市期中）如图，在Rt△ABC中，直角边AC＝6，BC＝8，将△ABC按如图办法折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（ ）
A．25/4 B．22/3
C．7/4 D．5/3
【解析】由题意得DB＝AD；设CD＝x，则AD＝DB＝（8﹣x），
∵∠C＝90°，∴AD ²﹣CD ²＝AC ² ,（8﹣x）²﹣x ²＝36，
解得x＝7/4；即CD＝7/4．故选：C．
例1变式2．（2018秋•瑞安市期末）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E为BC上一点，将△ABE沿AE折叠得到△AEF，点H为CD上一点，将△CEH沿EH折叠得到△EHG，且F落在线段EG上，当GF＝GH时，则BE的长为 ．
【解析】由折叠可得∠AEH＝1/2∠BEC＝90°，进而得出Rt△AEH中，AE ²+EH2 ²＝AH ²，设BE＝x，则EF＝x，CE＝6﹣x＝EG，再根据勾股定理，即可得到方程x ²+4 ²+（6﹣x）²+（6﹣2x）²＝（2x﹣2）²+6 ²，解该一元二次方程，即可得到BE的长．BE的长为2．
【点评】本题紧张稽核的是翻折的性子、矩形的性子、勾股定理以及解一元二次方程的综合利用，办理问题的关键是连接AH布局直角三角形AEH，这种折叠问题常设哀求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性子用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，利用勾股定理列出方程求出答案．
方法策略模式：在折叠后产生的直角三角形中，把某条边设成未知数根据勾股定理列方程求解。
类型2 翻折前有平行线这一条件的问题
例2．（2018秋•宜兴市期中）如图，在长方形纸片ABCD中，AD＝4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若OC＝5cm，则CD的长为（ ）
A．6cm B．7cm
C．8cm D．10cm
【剖析】由折叠的性子可得：∠BAC＝∠EAC＝∠ACD，可得AO＝CO＝5cm，根据勾股定理可求DO的长，即可求CD的长．
【解答】∵折叠，∴∠BAC＝∠EAC，
∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，
∴∠EAC＝∠ACD，∴AO＝CO＝5cm，
在直角三角形ADO中，利用勾股定理可求得DO＝3cm，
∴CD＝DO+CO＝3+5＝8cm．故选：C．
例题2变式1．（2018春•南岗区校级月考）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，现将A、C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，则图形中重叠部分△AEF的面积为 ______．
【解析】设AE＝x，由折叠可知，EC＝x，BE＝8﹣x，
在Rt△ABE中，AB ²+BE ²＝AE ²，即4 ²+（8﹣x）²＝x ²，解得：x＝5，
由折叠可知∠AEF＝∠CEF，
∵AD∥BC，∴∠CEF＝∠AFE，∴∠AEF＝∠AFE，即AE＝AF＝5，
∴S△AEF＝1/2×AF×AB＝1/2×5×4＝10．
故答案为：10．
方法策略模式：图形折叠后，相称于涌现了角平分线，有角平分线，有平行，就会产生等腰三角形，我们去找那个等腰三角形一样平常就会使得问题得到办理。
类型3 直角三角形的翻折，利用三垂直模型解答
例3．（2018秋•浦东新区期中）如图，平面直角坐标系中，已知矩形OABC，O为原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（1，2），连接OB，将△OAB沿直线OB翻折，点A落在点D的位置，则cos∠COD 的值是（ ）
A．3/5 B．1/2
C．3/4 D．4/5
【剖析】根据翻折不变性及勾股定理求出GD、CG的长，再根据相似三角形的性子，求出DF的长，OF的长即可办理问题；
【解答】作DF⊥y轴于F，DE⊥x轴于E，BD交OC于G．
∵在△BCG与△ODG中，
∠BCG＝∠ODF，OD=BC, ∠DOF＝∠GBC，∴△BCG≌△ODG，
∴GO＝GB，∴设GO＝GB＝x，则CG＝GD＝2﹣x，
于是在Rt△CGB中，（2﹣x）²+1 ²＝x ²；解得x＝5/4．
GD＝2﹣x＝2﹣5/4＝3/4；
∵BC⊥y轴，DF⊥y轴，∴∠BCG＝∠DFG，
∵∠BGC＝∠DGF，∴△CBG∽△FDG，∴DF/BC=DG/BG，∴DF＝3/5；
【点评】本题稽核翻折变换、矩形的性子、相似三角形的剖断和性子、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用赞助线，布局相似三角形办理问题，属于中考常考题型．
例题3变式．（2018秋•淮阴区期中）如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，使得顶点D落在边BC上的点F处（折痕为AE）．已知该纸片AB为8cm，BC为10cm，则EC的长度为（ ）
A．6cm B．5cm
C．4cm D．3cn
【解析】由四边形ABCD是矩形，可得BC＝AD＝10cm，∠B＝∠C＝∠D＝90°，又由由折叠的性子可得：AF＝AD＝10cm，∠AFE＝∠D＝90°，利用勾股定理即可求得BF的长，继而可得FC的长，然后由△ABF∽△FCE，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得EC的长度．EC＝3cm，故选：D．
方法策略模式：如果图形中折叠的是一个直角，我们的处理方法一样平常是布局三垂直模型，找到一对相似三角形，根据相似的性子来办理问题。
类型4 等边三角形的翻折一线三等角
例4．（2018秋•浦东新区月考）如图，等边△ABC中，D是BC边上的一点，把△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，折痕与边AB、AC分别交于点M、N，若AM＝2，AN＝3，那么边BC长为______ ．
【剖析】设BD＝x，DC＝y由△BMD∽△CDN，可得（BM+MD+BD）：（DN+NC+CD）＝DM：DN＝2：3，推出（2x+y）：（x+2y）＝2：3，推出y＝4x，推出AB＝BC＝AC＝5x，MB＝5x﹣2，CN＝5x﹣3，再根据BM/CD=DM/DN=2/3，构建方程即可办理问题；
【解答】设BD＝x，DC＝y，
∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝x+y，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
由折叠的性子可知：MN是线段AD的垂直平分线，
∴AM＝DM＝2，AN＝DN＝3，
∴BM+MD+BD＝2x+y，DN+NC+DC＝x+2y，
∵∠MDN＝∠BAC＝∠ABC＝60°，
∴∠NDC+∠MDB＝∠BMD+∠MBD＝120°，∴∠NDC＝∠BMD，
∵∠ABC＝∠ACB＝60°，∴△BMD∽△CDN，
∴（BM+MD+BD）：（DN+NC+CD）＝DM：DN＝2：3，
∴（2x+y）：（x+2y）＝2：3，
∴y＝4x，∴AB＝BC＝AC＝5x，MB＝5x﹣2，CN＝5x﹣3，
∵BM/CD=DM/DN=2/3，
∴(5x-2)/4x=2/3，∴x＝6/7，∴BC＝5x＝30/7，故答案为30/7．
例4变式．（2018•河南仿照）如图所示，等边△ABC中，边长为4，P、Q为AB、AC上的点，将△ABC沿着PQ折叠，使得A点与线段BC上的点D重合，且BD：CD＝1：3，则AQ的长度为_____ ．
【解析】易得△BPD∽△CDQ，可得BD/CQ=DP/DQ=BP/CD，由BD：DC＝1：4＝3，BC＝4，推出DB＝1，CD＝3，设AQ＝x，则CQ＝4﹣x，构建方程即可办理问题；AQ=13/5.
方法策略模式：等边三角形折叠后，会涌现三个60度的角，一样平常情形下我们会找到一对相似三角形，根据相似的性子来办理问题。
类型5过一定点的翻折与隐形圆
例5．（2018秋•江都区校级月考）如图，在边长为8的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是边AD的中点，N是AB上一点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A'MN，连接A'B，则A'B的取值范围________
【剖析】连接BM，BD，依据M是边AD的中点，△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A'MN，即可得到点A'的轨迹为以AD为直径的半圆M，依据A'B+A'M≥BM，即可得出A'B≥BM﹣A'M＝4√3﹣4，当点N与点A或点D重合时，A'B的最大值为8，即可得到A'B的取值范围．
【解答】如图所示，连接BM，BD，
∵M是边AD的中点，△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A'MN，
∴点A'的轨迹为以AD为直径的半圆M，A'M＝AM＝4，
∵∠A＝60°，AB＝AD，∴△ABD是等边三角形，
∴BM⊥AD，∠ABM＝30°，∴BM＝√3AM＝4√3，
∵A'B+A'M≥BM，∴A'B≥BM﹣A'M＝4√3﹣4，
当点N与点A或点D重合时，点A'与点A或点D重合，此时A'B的最大值为8，∴A'B的取值范围为：4√3﹣4≤A'B≤8，
故答案为：4√3﹣4≤A'B≤8．
例题5变式.如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝3，点E是AD边的中点，点F是射线AB上的一动点，将△AEF沿EF所在的直线翻折得到△A′EF，连接A′C，则A′C的最小值为______．
【解析】根据点F是射线AB上的一动点，将△AEF沿EF所在的直线翻折得到△A′EF，可得点A'的运动路径为以E为圆心，AE长为半径的半圆，再根据两点之间线段最短，即可得出当点A'、C、E三点共线时，A′C的长最小，末了根据勾股定理进行打算即可．即A′C的最小值为√10-1
经由以上五个类型问题剖析，我们弗成贵到办理这类问题思维模式。详细如下：
1.折叠后能够重合的线段相等，能够重合的角相等，能够重合的三角形全等，折叠前后的图形关于折痕对称，对应点到折痕的间隔相等。
2.折叠类问题中，如果翻折的是直角，那么可以布局三垂直模型，利用三角形相似办理问题；
3.折叠类问题中，如果有平行线，那么翻折后就有可能涌现等腰三角形，或者角平分；
4.折叠类问题中，如果有新的直角三角形涌现，我们可以设未知数，根据勾股定理列方程求解；
5.折叠类问题中，如果折痕过某一定点，这是每每用赞助圆来办理问题，一样平常试题稽核的是点圆最值问题。
以上方法，我们在解题时，如果遇见同类问题时，可以考虑运用这些解题思维模式来求解问题。
